Higgs-mechanizmus

A mértéktérelmélet nagy ötlete az, hogy transzformáljuk így-úgy (akár többféleképpen, de) együtt (csatoltan) a tömegtelen bozonos mértéktereket (mezőket) a tömegtelen fermion-terekkel (mezőkkel), valamint egy különös skalármezővel (ebből származik majd a Higgs-mező), mely megfelelő tulajdonságú szimmetriasértő “potenciált” ad (⇒ spontán szimmetriasértés). A szimmetriasértő potenciál a skalármező képzetes tömegét (im), és önkölcsönhatását jelenti (ahol az utóbbi kompenzáló a képzetessé vált tömegre nézve..).

Na most nagy körvonalakban a lentebbi egy még viszonylag egyszerű demonstráló példában (melyben nem szerepelnek a W, Z bozonok, leptonok, kvarkok és gluonok) bevezetve egy alkalmas “kovariáns” deriválást, majd helyett pl. szerint új és valós mennyiségekre áttérve, és azokat egy minimumának megfelelően (Higgs-mező) és (Goldstone-mező) mennyiségekké alakítva csupán a mértékmező transzformációjával eltüntethető (kitranszformálható) a tömegtelen úgynevezett Goldstone-bozon szellemtér (mező), és így annak szabadsági foka beletranszformálódik az ezáltal tömegessé vált vektorrészecskébe. Ez a Higgs-mechanizmus, ami a végső nézetben tényleg mechanizmusnak, azaz egy zajló kölcsönhatási folyamatnak mutatkozik, de a kiinduló nézetben azonban nem. A kettő közötti váltáshoz csupán bizonyos mértéktranszformációkat, azaz fizikai tartalom nélküli matematikai átalakításokat alkalmazunk. Így lesznek tömegesek az elemi részecskék. A Lagrange-sűrűség előírásával sokféleképpen lehet Higgs-elméletet gyártani, a legegyszerűbb demonstrációktól kezdve (lentebbi példa), az egészen bonyolult nem abeli Higgs-elméletekig, melyekkel már sikerült megmagyarázni a Standard Modell talán teljes szerkezetét a kölcsönhatásokkal együtt. (Azért még biztos van néhány anomália…) Így végül a részecskefélék különböző tömegei néhány csatolási állandó közreműködésével a Higgs-mezővel való kölcsönhatásból adódnak. (A csatolási állandók még nem is biztos, hogy nagyon nagy energiákon, vagy a széles energiaskálán is valóban állandók…)

(Kanyarodjunk most kicsit visszább…)
A kvantummechanika normált hullámfüggvénye csak egy globális fázistranszformáció erejéig adott. Ez a globális U(1) szimmetria. A tömegtelen mértékmező vektorpotenciálja pedig egy négyesgradiens erejéig adott. Ezek az alapvető szimmetriák a Lagrange-sűrűségből könnyen adódnak. A transzformációk, az újraparaméterezések (vagy átparaméterezések), valamint a matematikai struktúrák tulajdonságai így együtt kínálnak lehetőségeket olyan átalakításokra, továbbgondolásokra, melyek aztán a valóság modellezésében sikeres előrelépéseket eredményez(het)nek. Ezekkel ért el nagy sikereket a kvantumtérelmélet mértéktérelméleti továbbgondolása. Nézzük akkor részletesen a Higgs-mechanizmust demonstráló alábbi konstrukciót:

Több mindent összevetve célszerű lenne a komplex -t, és a valós -t együtt, és pl. ugyanazzal az alaptranszformációs -vel jelölt kifejezéssel felépítve transzformálni úgy, hogy külön-külön invariáns maradjon a Lagrange-sűrűség mértékmező és anyagi mező része.
Legyen a alaptranszformációs kifejezés a lokális U(1) mértékcsoport (szimmetriacsoport) valamely eleme, melynek egy irreducibilis ábrázolása . Ezzel transzformáljunk a következőképpen:

1) ,

2) ,

ahol a reciprokban szereplő egy csatolási állandó.

Az együtt-transzformálás 2) fele az elektrodinamikából már ismert mértékszimmetria, 1) fele pedig a kvantummechanika alapvető globális szimmetriájának lokálissá tétele. Ez utóbbit valahogyan kompenzálni kell. Ha az alábbi egyszerű Lagrange-sűrűségben (tiszta tömegtelen sugárzási tér + anyagi mező, ami most egy nulla tömegű töltött skalármező) deriválásához helyett kitalálunk egy deriváló operátort (ahol most is a csatolási állandó, és nem pedig az Euler-féle szám), akkor e három dolog matematikai összhangja egészen új, és gyümölcsöző megvilágításba helyezi a részecskefizikát.

.

Az első tag teljesen hasonló mindkét esetben, mert:

.

A második tag:

,

ahol a megmaradó négyes-áramsűrűséget jelenti. (Ez így még tömeg nélkül sem okoz semmi gondot.)

Látható, hogy a bevezetett kovariáns deriválás már szolgáltatja az mértékmező és a anyagi mező egyszerű kölcsönhatását, ami a baloldali Lagrange-sűrűségben nem szerepel, pedig kell. Valamint egy további tag jelent meg, ami kulcsfontosságú az elmélet szempontjából (!!), ugyanis ez egyfelől kölcsönhatás jellegű tag, de másfelől a mértékmező számára alakja alapján tömegtag jellegű. (Persze a mező számára is tömegtag jellegű, de innen nézve nem ez fog érvényre jutni, hanem a kölcsönhatást jelentő jelleg.)

A Lagrange-sűrűség első mértékmező tagja nyilván invariáns a fent előírt transzformációra, ezt tudjuk már az elektrodinamikából.

.

Az potenciál szintén invariáns, mert -t mindig -gal szorozva tartalmazza, és ugye .

A középső tagok így alakulnak:

Hogy ki ne hagyjunk semmit, nagyon oda kell figyelni, mert a szorzat deriváltja tagokat képez, és még ráadásul ezek csoportjai is össze vannak szorozva. A koncepció a következő: minden szépen sorba van; azonos sorszámú tagok szorzatai + keresztszorzat tagpárok.


.

Látható, hogy a -t tartalmazó Lagrange-sűrűség nem invariáns a lokális fázistranszformációra. (Globális transzformáció esetén ugye a két utolsó tag eltűnik.) Azonban ha a skalármezővel együtt az mértékmezőt is a megadott módon transzformáljuk, akkor a kovariáns derivált négyzete (önmagával vett skalárszorzata) változatlan marad, ahogyan annak lennie is kell, hiszen kiterjesztett értelemben éppen ezért nevezzük “kovariánsnak” ezt a deriváltat, illetve ennek deriváló operátorát. Helyesebben ezt nem is kovariáns deriváltnak ill. deriváló operátornak kellene nevezni, hanem inkább csak mértékinvariáns deriváltnak, illetve mértékinvariáns deriváló operátornak, ugyanis itt nem új téridő-koordinátákra térünk át, hanem más tekintetben választunk új mérték(ek)et, melyre a Lagrange-sűrűség alakjának szintén invariánsnak kell lennie. De mivel összekapcsolt mértéktranszformációról van szó, akárcsak a téridő-koordináták Lorentz-transzformációjánál, ezért a hasonlatosság miatt kapta a “kovariáns” minőségjelzőt. Nézzük tehát akkor hogyan alakul a jobboldali Lagrange-sűrűség középső tagja az előírt lokális mértéktranszformációkra:




.

Az utolsó tagpár , amit az utolsó előtti tagpárból a deriválandók egyik tagjaiból adódóak kiejtenek:
.
Marad a deriválandók másik tagjaiból adódó tagpár:
.
Az utolsó előtti második tagpárból a deriválandók egyik tagjaiból adódik:
.
Ez kiejti a felette lévő sorban szereplő két tagot. Marad a deriválandók másik tagjaiból adódó tagpár:
.
Ez pedig kiejti a felette lévő sorban álló középső hasonló tagot.

Végül ami maradt: , és ez , amiből kiindultunk.
 

Tehát, ha a megadott módon együtt transzformáljuk -t és -t, akkor a kovariáns deriváló operátorral felírt Lagrange-sűrűség erre invariáns marad. Ez alapján csupán egy kis matematikai bűvészkedéssel belátható egy matematikailag ekvivalens, de fizikailag természetesebb nézőpont, melyben új szereplőkre (új részecskemezőkre) térünk át, és ezzel kiküszöbölődik a képzetes tömeg is, melynek közvetlen fizikai értelme nincsen.

Tehát kézenfekvővé válik -t amplitúdó és fázis mennyiségekben felfogni, ami új szabadsági fokokra való áttérést jelent. Állítsuk tehát elő a komplex -t két valós mennyiséggel (a fent vázoltak szerint): . Na de ez éppen olyan alakú, mint a lokális U(1) mértéktranszformáció, és ez nagyon jó. A fenti -et tölti be, a komplex pedig leredukálódott egy valós mezőre. Ezekkel felírva a Lagrange-sűrűség:


, ahol most az , és nyilván az .

A Goldstone-mező ebből az alakból kiküszöbölődött, ami azt jelenti, hogy nem volt fizikailag valódi tér (mező). A tag beleolvadt egy másikba:

, és ez benne van az tagban.

Az szimmetriasértő potenciál egyszerűen ilyen alakú:
Ekkor a skalármezőnek képzetes tömege van. a tömegparaméter, pedig az önkölcsönhatás erősségparamétere.
A függvény kinézete az a bizonyos W vagyis forma, csak kevésbé szögletesen.
Ezen semmit nem változtat, tehát ugyanaz a potenciálgörbe most: .

És most jön a lényeg, hogy szeretnénk eltüntetni a potenciálgödör kör alakú alját (a dombbal együtt), melyben a már eltűnt visz ciklikusan körbe. Vele együtt ez is csak matematikai felesleg, hiszen a kvantummechanikai alapállapot nem lehet degenerált. Másként mondva olyanná szeretnénk áttranszformálni ezt az egészet, melynek csak egy helyen van szélsőértéke, azaz középen van a minimuma.

Az potenciálfüggvény abszolút értékének ez a minimuma -nál van, tehát ennek megfelelően nézzük, mit mutat a Lagrange-sűrűség, ha azt a , mint Higgs-mező, változóval írjuk fel. Így az alapállapotnak, vagyis a vákuumnak, elvártan a érték felel meg. Az -ről, és -ről a vesszőket most már elhagyjuk, mert feleslegesek.

.

Ebben a formában az látható, hogy a mértékmezőnek tömege van.
A Higgs-mezőnek pedig tömege van, mert az utolsó potenciál tagban a együtthatója: .
Az utolsó tagban lévő konstans potenciál nem jelent semmit, mert a hatásintegrál variációjánál az úgyis eltűnik. Ugyanitt a -ban elsőrendű tag pedig kiesik, mert: . Ez fontos, mert ilyen tagot nem tartalmazhat a Lagrange-sűrűség.

Az utóbbi két számoláshoz felhasználtuk, hogy: , és hogy: . Az ezek alapján adódó többi tag a Higgs-mező önkölcsönhatását jelentik.

A potenciáltag előttiből adódó valamint tagok pedig a mértékmező és Higgs-mező kölcsönhatását jelentik.