Fourier-transzformáció

A szakirodalmakat összevetve megfigyelhető, és meglepő, hogy a Fourier-transzformációt és inverzét az alábbiak alapján kétféleképpen választhatónak tartják, mert az oda- és visszatranszformálás lényegében hasonló művelet. Jelölhetjük ugyanazzal a betűvel, legyen ez az F betű.

,

.

A második választás -1 felső indexe az inverz transzformációra utal. Nyilvánvaló, hogy ha az egyik sorban az első választást tettük, akkor ezzel egyben a második sorban a másodikat, és fordítva.

Lentebb látni fogjuk, hogy ez az önkényesnek gondolt választás a kvantummechanika csererelációjában hibás előjelhez vezethet. A kanonikus cserereláció a kvantummechanika kiindulópontja, ami viszont a Fourier-transzformációból eredeztethető, mivel alapvető és lényegi kapcsolat van közöttük. Ha a Fourier-transzformációt a frekvenciatartományba átvivő transzformációként értelmezzük (és hát nyilván, mert matematikailag azt jelenti), akkor ebben az is benne van, hogy a frekvenciatartományra a leképezés nem fordított. Az kifejezésben a értékének pozitív változása a pozitív frekvencia szerint forgat, tehát az integrál alatt visszafelé kell forgatnunk, hogy végül a frekvenciatartományba helyesen képezzünk le, és ne megfordítva.

Nézzük előbb a Dirac-deltát, és annak szimmetriáját:

, valamint .

Válasszuk most úgy a transzformáció képletét, hogy a jelölésében a transzformáció útját jelölő kitevőelőjel egyezzen meg a képletben szereplő -ad kitevőjének előjelével. (Ez fordított választás..) A Fourier-transzformáció oda-vissza ekkor így néz ki:

.

Ezzel újra előállítottuk az eredeti függvényt.

, és utóbbiból azt gondolhatnánk, hogy az -ad kitevőjében szereplő előjel”konvenció” kapcsolatos a Dirac-delta szimmetriájával, de ez nem így van.

az -nek megfelelő identitás operátor.
Az is nyilvánvaló, hogy (a csillag konjugálást jelent).
Belátható, hogy (a hullámvonal transzponálást jelent).
Az is belátható, hogy (a + adjungálást jelent).
Így az is, hogy , ami azt jelenti, hogy unitér operátor.

Az identitás operátor bármelyik operátorral felcserélhető, tehát:

.

A bal oldal egy hasonlósági transzformáció, ami az identitás operátorhoz önmagát rendeli. (Ez másképpen nem is lehet.)
De vajon mit rendel a Fourier-transzformáció unitér operátorával elvégzett hasonlósági transzformáció pl. a hely, vagy impulzus koordinátával való szorzás operátorához? Tekintsük a Fourier-transzformációt egy alapvető műveletnek, hiszen a sajátfüggvénye (sajátdisztribúciója) a szintén alapvető Dirac-delta, sajátérték spektruma pedig folytonos az egész valós számegyenesen -től -ig. A hullámszerűség, mint természeti alapvetőség, a Fourier-transzformációt jelöli ki a matematikai leíráshoz. A másik természeti alapvetőség a részecskeszerűség, és a harmadik az, hogy az előbbi kettő dualitásban van egymással (hullám-részecske kettősség). Ezek együtt a kvantummechanika alapjában a matematikai leíráshoz kijelölik az operátor kalkulust (vagy az ekvivalens mátrixkalkulust). Legyen nagy és az impulzus és helykoordináta operátora impulzus-reprezentációban, kis és koordináta reprezentációban. Nevezzük ki a Fourier-transzformált terét impulzustérnek. Az egyszerűség elve alapján impulzus-reprezentációban az impulzus operátorának az impulzus koordinátával való szorzást célszerű választani, hasonlóan koordináta-reprezentációban a koordináta operátorának a helykoordinátával való szorzást választjuk. Ezeket az operátorokat át kell tudnunk transzformálni az egyik reprezentációból, mint vonatkoztatási rendszerből, nézetből, a másikba. A Fourier-transzformáció, mint unitér hasonlósági transzformáció, és mint bázistranszformáció, adja meg ezt a kapcsolatot (a hullámszerűség kapcsán). A célszerű választás a csererelációt (amit a kvantummechanika matematikai tárgyalásához kiindulásnak szoktak venni) a lehető legegyszerűbbé teszi (a Planck-állandót 1-nek tekintve): , azaz a jobboldal egy konstans szám.

Az impulzus operátora koordináta reprezentációban: (itt koordinátareprezentációban vagyunk).

A helykoordináta operátora impulzus reprezentációban pedig: (itt impulzusreprezentációban vagyunk).

A szintaxisban az operátorok balról jobbra hatnak. Ha úgy tekintünk a Fourier-transzformációra, mint a frekvenciatartományba átvivő transzformációra, akkor itt észrevétlenül átsiklunk azon a problémán, hogy egyáltalán nem mindegy, hogy a frekvenciatartományra rendesen vagy fordítva képezünk le. NEM mondhatjuk, hogy a Fourier-transzformációs képletek “esetleg” csupán fordítva lettek megválasztva, mert ekkor fel vannak cserélve a pozitív és negatív frekvenciák egymással, ami matematikailag helytelen. Ez nem csupán azt jelenti, hogy a jobbracsavarodások és balracsavarodások ábrázolása cserélődött fel a frekvenciaskálán, hanem azt, hogy a matematikai művelet szigorúan véve nem a megnevezésének megfelelő. Ez olyan, mintha felcserélnénk a képzetes egységekben -t és -t, amit nyilván nem tehetjük meg. Van, hogy ez felületesen nézve érdektelen, vagy annak veszik, de ha pontosak akarunk lenni, akkor nem az. Mellesleg még ott van az is, hogy szerintem jobb, ha a jobbracsavarodásokat vesszük a pozitív frekvenciáknak. Ez a jobbos választás, vagy inkább társítás, több helyen előfordul a matematikában. Például a koordinátatengelyek sodrása. Így célszerű szabályszerűsíteni, és ahol csak lehet megfosztani a matematikát és alkalmazóját a választási kétességektől.

Egyelőre maradjunk így, és nézzük előbb az elsőt: ,

,

,

.

A második integrált az parciális integrálással felírva kapjuk:

,

,

,

. (Itt -ről a vesszőt már el is hagyhatjuk.)

A második két tag okoz némi fennakadást a végtelenben…
Egy kicsit másképp variálva az integrálást, de lényegében ugyanez:

,

,

.

Parciális integrálást alkalmazva, mint fentebb:

,

ahol: , mert rögzített paraméter a kalkulációban (de úgy is nézhetjük ezt, hogy , mert nem függvénye -nek). Ugyanarra jutunk, mint fentebb:

.

Ez az utolsó felírás az előzőből nem kielégítő (csakúgy, mint fentebb), sőt, egyáltalán nem jó, mert már előtte a (zavaró) tag eltűnik az alábbi meggondolás szerint:

.

A integrálási elem minden határon túl infinitezimálisan kicsi, de nem nulla intervallum. Ezzel szemben a Dirac-delta nem egy ilyen infinitezimálisan keskeny intervallumon veszi fel a nem nulla értékét, hanem csak egyetlen pontban. (Ezért van szüksége minden határon túl végtelen értékre e pontban ahhoz, hogy az itt áthaladó határozott integrálja véges értéket adjon.) Ez a pont vagy az integrálási elemen belül, vagy pedig kívül helyezkedik el, de az elem határán nem. Ez azt jelenti, hogy az integrálási elem határán a Dirac-delta mindig nulla értékű. Így az integrálási tartomány határán a végtelenben is nulla az értéke, tehát az említett második tag eltűnik. (Ha visszamegyünk a parciális integrálás elé, akkor már a Dirac-delta deriváltjával hasonlóan okoskodva a intervallumra, egyből a lentebbi helyes végeredményt kapjuk.)
(A disztribúcióelmélet szerint is ezzel egybevágóan eltűnik az a tag…)

Marad:

, amiből:

, vagyis: , és ugye .

Egy negatív előjel van a szokványoshoz képest, ami a Fourier-transzformációban lévő kitevő előjeléből ered. A kvantummechanikában ez az ellentett előjel nem megfelelő. Ez a fordított választásunk eredménye. Önmagában hiába szimmetrikus a Dirac-delta, a hasonlósági transzformáció különböző integrálokban szerepelteti az egyik, illetve másik felét, és a transzformálandó mennyiséget e két fél közé teszi. A kalkuláció során felmerülő deriválások pedig lejuttatják a kitevőből az előjelet. Persze vehettük volna ekkor fordítva a hasonlósági transzformációkat:

Az impulzus operátora koordináta reprezentációban: (itt koordinátareprezentációban vagyunk).

A helykoordináta operátora impulzus reprezentációban pedig: (itt impulzusreprezentációban vagyunk).

És akkor úgy tűnik, minden rendben van. Azonban ekkor így itt sem a megfelelő matematikai műveletet hajtjuk végre (a Fourier-transzformációt tekintjük a frekvencia vagyis impulzus tartományba átvivőnek, nem pedig annak inverzét), és a két hiba csupán kiejti egymást, ami helyesnek nem mondható. Maradjunk ebben a tekintetben a korábbi helyes felírásnál (de a Fourier-transzformáció képletének helytelen választása mellett).

Nézzük a másodikat: ,

,

,

,


Teljesen hasonló számítással adódik: , vagyis: , és ugye .
Itt pedig hiányzik egy negatív előjel.

A csererelációk: (ami helyesen ugye: .)

, amiből: .

A koordináta-reprezentációbeli cserereláció pedig: (ami helyesen ugye: .)

, amiből: .

Visszafelé: ,

,

,

,

,

.

Amiből látszik, hogy , vagyis: ahogy azt fent definiáltuk.

Szándékosan nem használtam a Planck-állandót, mivel az csak egy mértékválasztás, ami nálam éppen 1. A kvantumosság a fizikai mennyiségekhez rendelt operátorok viszonyától jön létre, pontosabban pl. a legalapvetőbb kanonikus mennyiségek (hely és impulzus) operátorainak csererelációjától (azért csak “pl.”, mert vannak más nem folytonos jellegű szabadsági fokok, és arra vonatkozó hasonló csererelációk, mint pl. a spin…), és amit ez hoz magával, generálja az egész kvantumelmélet alapját: a kvantumos hullámszerűséget (hullám-részecske kettősség), és egyben a kvantummechanikát. A Planck-állandóval való nullához tartás eltörli határesetben a csererelációkat, így az operátorok felcserélhetők lesznek egymással, és ezzel megszűnik a kvantumosság egész alapja. A tulajdonképpen a hullámszerűség folytán a periódushosszon keresztül az energia-impulzus nagyság és a térbeli távolság viszonymértéke. Ezért van hozzáragadva a , és ezért is tartják számon a redukált Planck-állandót (Dirac nyomán), ami egyszerűsített jelöléssel . Matematikai kalkulálódása során hullámamplitúdókban is megjelenik, pl. normálásnál. Az impulzusnak a hullámhosszal való közvetlen kapcsolata folytán, pedig közvetlenül az energiával kerül kapcsolatba a Planck-állandó.