Christoffel-féle szimbólumok, kovariáns deriválás, differenciálformák

A differenciálható sokaságok térszerkezetének van koordinátázástól független sajátossága, és ez mellett koordinátázásból adódó jellege is. Ezeket az úgynevezett Christoffel-féle szimbólumok, vagyis a Gamma paraméterek írják le, melyek a sokaság szomszédos pontjaiban az érintőterek közötti kapcsolatot adják meg. Az érintőtér lineáris vektortér, ami kapcsolatként egy oda-vissza egyértelmű és lineáris megfeleltetést, a szokásos műszóval mondva leképezést kíván. Az egymásnak kölcsönösen megfelelő vektorokat kongruenseknek nevezzük. A folytonosság elve azt követeli, hogy a szomszédos véges értékű kongruens vektorok megfelelő komponensei csak végtelen kicsi értékben különbözzenek, hosszuk pedig egyezzen meg. Ezeknek megfelelően a különböző irányokban különböző lineáris eltéréseket megadó (szintén leképezést jelentő) matematikai objektum, a báziskonnexió mátrixa, egy köbös mátrix. Ezzel a báziskonnexió: , ahol bázisvektort jelent, a pedig az infinitezimálisan kicsivel odébbi pontot jelöli ki. Továbbá az (infinitezimális prototípus érintőterének mintájára vett) érintőtér vektorainak konnexióját ugyanígy, csak nyilvánvalóan ellentett előjellel kell számítani: .

A konnexió tehát egy tetszőleges vektorra felírva: ,

valamint a kongruens vektormegfeleltetés egy vektorra: .

Ezt a kongruens megfeleltetést szokták vektor átvitelnek, vagy a vektor eltolásának nevezni, de ez kicsit megtévesztő lehet, mert a vektorok nem fizikai objektumtárgyak, nem lehet őket tologatni.

Nézzük, hogyan lehet kifejezni a Christoffel-féle szimbólumokat, vagyis a Gammákat, a metrikus tenzorral.

Induljunk ki ehhez a összefüggésből, és használjuk ki, hogy a kölcsönösen kongruens vektorok hossza azonos.

.

Tekintetbe kell venni, hogy a metrikus tenzor komponensei infinitezimálisan kicsivel odébb más értékűek.

Ott: , és ezt beírva az előbbi összefüggésbe:

.

Minden másodrendűnél magasabb rendű tagot elhagyva:

A hárommal előbbi egyenlet alapján látható, hogy a szögletes zárójelben lévő kifejezésnek nullának kell lennie.

, (indexlehúzások elvégzése: )

, (összegezőindexek jelölésének átírása úgy, hogy kiemelhető legyen: )

.

A tetszőleges komponensek miatt a zárójelben lévő kifejezésnek nullának kell lennie. Ebből ciklikus indexjelölésekkel a következőket írhatjuk fel:

,

,

.

Végül ezek közül kettőt összeadva, majd a harmadikat kivonva, valamint felhasználva, hogy a Gammák a második két indexeikben szimmetrikusak, és kettővel osztva az ismert alakra jutunk:

. Valamint index felhúzással: .

Azt, hogy az alsó két indexében szimmetrikus, kicsit lentebb látjuk majd be. Mivel a sokaságon metrikát használunk ezáltal ki van zárva a torzió, és csak a Levi-Civita-féle konnexiós struktúra van.

Most visszatérünk kicsit a konnexió képletformulájához, és az alsóindexes vektorokra is meghatározzuk az ehhez hasonló képletformulát.

A skalár értéke független a koordinátázástól, tehát a skalárra vonatkozó konnexiós differenciál nulla. Mivel a konnexió differenciál, érvényes rá a Leibnitz-féle szabály, ami alapján , amiből pedig . Ez alapján írhatjuk:

.

Jobboldalon összegezőindex jelöléscseréket hajtunk végre, hogy mindkét oldalon egyformán szerepeljen.

,

.

Mivel tetszőleges, következik a konnexió az alsóindexes vektorokra:

.

Az alsóindexes konnexió tehát egy tetszőleges vektorra felírva: ,

és az alsóindexes kongruens vektormegfeleltetés egy vektorra: .

A tenzorok vektorok szorzatának mintájára konnektálódnak az alapformulák és a Leibnitz-féle szabály alapján.

,

.

Ugye mivel itt az egész tenzortér konnexiójáról van szó, és nem csupán vektorok szorzatának konnektálásáról, ez a képlet csupán mintául szolgál. A vektorok szorzatának sorrendjét megtartottuk, tehát ez alapján már csak át kell írni a képletet tenzoros formára.

.

Ugyanez alsóindexek esetén:

,

,

Ezt átírva tenzor formára kapjuk az általános formulát:

.

Vegyes helyzetű indexek esetén is így eljárva kapjuk a konnexió képletformuláját.

Bizonyos szempontból (ezt hívhatjuk mezőelméleti vagy térelméleti szempontnak) egyazon dologhoz tartozó skalárok, vektorok, tenzorok sokaságot, vagy másképpen mondva mezőt alkotnak. A mező fogalom helyett olykor helytelenül a tér szót is használják, de pontosan matematikailag az nem a mező függvényjellegére (kiterjedésjellegére) utal, hanem a mező (vagyis a sokaság) térjellegére (hogy pl. görbült-e, vagy sem), vagy csupán a sokaság (vagyis a mező) egyes elemeinek térszerkezetére (hogy pl. négydimenziós pszeudoeuklideszi). A relativitáselmélet szerint a világ eseményei egy pszeudo jellegű négydimenziós tér-idő struktúrájú sokaságot alkotnak, és így ebben (vagy ezen) a történések leírásához használt különféle skalár, (spinor, bispinor,) vektor, tenzor mennyiségek külön-külön is sokaságot jelentenek, amikre már mondhatjuk, hogy mező, mert az értékük alapján valamilyen függvény jellemzi a kiterjedésük alakját, formáját. Ez azonban csak valamilyen koordinátázás alapján számszerűsíthető, de mivel a koordinátázásnak nincs fizikai tartalma, így a változások jellege, amik a fizikai világot adják a koordinátázás és annak jellege nélkül is megvannak. Ezeket gyakran (mert éppen szükséges) külön kell választanunk a koordinátázás jellegéből adódó (nem fizikai) mennyiségváltozásoktól. A skalár, vektor, tenzor “mennyiségek” is függetlenek a koordinátázástól, ezért ezek kovariáns mennyiségek. (Azért tettem idézőjelbe előbb a mennyiség szót, mert nyilván ennek számszerű kifejezéséhez valamilyen koordinátázásra szükségünk van. A koordinátázás tulajdonképpen egy viszonyítási alapstruktúrát teremt.) Ezek szerint tehát szükségünk van a változások szétválasztására, mert ebből nekünk gyakran a kovariáns része kell, tehát az, ami vektor vagy tenzor jellegű mennyiség. (Skalár ugye nyilván nem lehet, mert a változást valamilyen lépték viszonyában tudjuk csak mérni, ami a koordinátázásból adódik, a skalár pedig eleve ettől független.)

Tisztán a koordinátázásból eredő megváltozása egy mezőnek a konnexió. A koordinátázás alapján felírt megváltozás (nyilván csak így tudjuk ezt felírni) a teljes megváltozás. Tehát a kettő különbsége a mező saját, azaz kovariáns megváltozása. Differenciálokkal felírva egy tetszőleges mennyiség megváltozásai:

.

A kovariáns differenciált -vel jelöljük, a teljes differenciált -vel, a konnexiós differenciált pedig a variációra is használt -val. Utóbbi jelölés azért találó, mert a tetszőleges koordinátázásokból variációszerűen adódnak a különböző konnexiók.

A mező elmélete szempontjából az mennyiség csak a koordináták függvénye, tehát ez alapján átírva a teljes differenciálját -re, és behelyettesítve a konnexió formuláját a lépték jobboldalt kiemelhetővé válik. Mivel ez és a baloldal is kovariáns mennyiség, így a kiemelés után visszamaradó mennyiség is kovariáns, amit egy formális osztással nyerhetünk ki, hiszen ez indexösszeejtéses kontrakcióban van a léptékkel. Itt ez a formális osztás tulajdonképpen a deriválás parciálisokra (részekre) történő visszafejtésének elgondolása az összegzett differenciálból, mégpedig baloldalt a kovariáns deriválásé, jobboldalt pedig az első tagban a teljes deriválásé.

Ezzel a -el jelölt kovariáns deriválás skalár, vektor, tenzor mennyiségekre a következő formulák szerint adódnak:

,

,

,

,

.

Vegyes helyzetű indexek esetén is így eljárva kapjuk a kovariáns deriválás képletformuláját.

A vektor kovariáns differenciálja is vektor, következik, hogy a metrikus tenzor kovariáns differenciálja és egyben a kovariáns deriváltja is nulla.

Az , és a , valamint a Leibnitz-szabály alapján: .

Tehát mivel tetszőleges, következik, hogy , és ezért .

Ez alapján pedig könnyen fel lehet írni a Christoffel-féle Gamma szimbólumok és a metrikus tenzor kapcsolatát, ha belátjuk (ahogy fentebb megígértem), hogy a Gammák két indexükben szimmetrikusak.

Legyen az vektor egy skalármező gradiense: , valamint .

Válasszunk Galilei-féle koordinátázást az adott helyen, ekkor a konnexiós differenciál nulla, tehát a Gammák eltűnnek. Így ekkor:

.

Fenntartjuk a parciális deriválások sorrendjének felcserélhetőségét, ezzel elkerüljük a felesleges és haszontalan bonyodalmakat, azaz Riemann-féle torziómentes geometriát szeretnénk használni.

Az vektor kovariáns deriváltja tenzor, tehát a felírt különbség is. Ha azonban egy tenzor nulla, akkor az más koordinátázás esetén is nulla.

.

Ami azt jelenti, hogy , tehát az alsó két indexében szimmetrikus. (A zárójelben lévő kifejezés a negatív torziótenzor, ami most nulla.)

Tulajdonképpen amit az imént felírtunk, az .

Most nézzük ezt skalármező helyett egy tetszőleges vektormezővel: .

. Amibe behelyettesítjük a következőt: .

,

.

Ebből ugye kivonva az indexcserélt változatát, egyből látható, hogy az -ban szimmetrikus első és negyedik tagok kiesnek, valamint a harmadik és ötödik tagok ejtik még ki egymást. Így marad:

.

A nagy zárójelben lévő kifejezés a görbületi tenzor vagy Riemann-tenzor. Mivel tetszőleges, ezért független a vektor- vagy tenzormezőtől (és ugye az előbbiek alapján a skalármezőtől is). A kovariáns mennyiségekből láthatóan ez is az, tehát tenzor, ezért független a koordinátázástól is (leszámítva persze annak kényszerítő hatását, amit egy meglévő koordinátázás variálásával lehet például elérni), ami azt jelenti, hogy magának a sokaságnak a saját tulajdonsága, egy igen fontos szerkezeti tulajdonsága. Az általános relativitáselmélet éppen az ebben rejlő lehetőséget használja ki a gravitációs téregyenletek felállításakor.

Baloldalon a operátor kifejezés a felírásából láthatóan a felületelem kovariáns differenciáló komplementere, azaz .
Ezek indexösszeejtéses kontrakciója , ami egy elemi felületre vonatkoztatott változást jelent. A kettes szorzó azért van, mert a két összegezőindex miatt minden tag kétszer szerepel. (Mindkét index végigfut minden lehetőségen, és szerencsére az antiszimmetria miatt az eset nem ad járulékot, mert akkor bajban lennénk a tömörített felírással.) A negatív előjel pedig a következő részletezés alapján konvencionális:

Mivel , valamint , a szorzatuk négy tagot eredményez:

.

Az első és utolsó tagban az indexjelöléseket felcseréljük, majd az egyforma első kettő és második kettő tagokat összevonjuk:

. (A konvenció szabályszerűségét kicsivel lentebb jobban érzékeltetem.)

Ezek alapján:

,

.

Mivel tetszőleges, és skalárra alkalmazva a operátort nullát kapunk:

, (az utolsó tagban összegezőindex jelöléscserét alkalmazva:)

, (majd kiemelés után:)

, (és mivel tetszőleges:)

.

Ahogy fent a konnexiónál, úgy itt is teljesen hasonlóan fel lehet írni ezeket a lineáris leképező formulákat magasabb rendű tenzorokra is.

Térjünk vissza most az alábbi képletre:

, és vigyük be -t a zárójelbe.

.

Mivel ennek az értéke független -tól, így csak a Christoffel-féle szimbólumoktól (és annak deriváltjától) függ. Akkor, ha egy tetszőleges felületre integrálunk, minden felületelemre tetszőleges lehet , mondjuk úgy, “kovariáns értéke”. Rögzítsük ezt az értéket minden felületelemre külön-külön.

Ekkor viszont , valamint , és ezeket felhasználva az utolsó két tagban:

, (összegezőindex jelöléscsere után:)

.

A nagy zárójelben a két középső tag, valamint a két szélső, egy deriválás alá vonható:

.

A szögletes zárójelben a rotáció kifejezése szerepel. Ezt átalakítjuk, közben figyelembe vesszük, hogy két indexre kell összegezni, és így a kétszer előforduló tagok miatt -t kapunk. (Picivel lentebb részletesen ezzel, és a hasonló átalakításokkal folytatom.)

A végeredmény, hogy a konnexió egy zárt infinitezimális elemi “körön”.

Természetesen nem körről van szó, hanem inkább egy paralelogramma alakú körútról. Ezt szimbolizálja a -re kihelyezett kis jel, azaz .

Tetszőleges felületre integrálva: .

Látható, hogy amit kaptunk, az a Stokes-tétel egyik integrálformulája. Amelyik útvonalon kétszer haladunk végig, azaz egyszer odafelé, és egyszer visszafelé, annak járuléka, mivel értékei felületelemről felületelemre elsőrendűen kicsikben térnek csak el, így másodrendűen kicsiny a felületelemekre vonatkoztatva, és az integrálás során végül elsőrendűen kicsiny lesz csupán, tehát elhagyódik. Ami marad, ahogy a végeredményből is látható, az a teljes felület körüli határvonal mentén keletkező járulékok összege. Még észre kell venni, hogy az integrálás során együtt összegződik kovariáns változása, és a konnexiója. Ezeket itt nem tudjuk különválasztani. konkrétan egy ehhez a dologhoz tartozó változást jelöl.
 

A továbbiakban nézzük a szabályszerűen jobbsodrású konvenciónak megfelelő differenciálátalakításokat, differenciálformákat.

Legyen tetszőleges vektor, pontosabban vektormező. (Az alábbi kifejezések értelmezhetősége természetesen megkövetel néhány természetes tulajdonságot, mint például a folytonosság, korlátosság, differenciálhatóság.)

Nézzük a következőt: (Ami integrálva a Stokes-tétel.)

, mert olyan nincsen, hogy

Az első lépésnél csak átírtam a kifejezést a szummás alakra, de a következőkben ezt már el fogom hagyni, mert felesleges. A második lépésnél -t az irányítottság figyelembevételével szükséges venni, tehát rendezett szorzatnak kell tekinteni, különben könnyen előjeles ellentmondásokra juthatunk. Ahogy általában a szorzás jelét elhagyjuk, úgy a rendezett szorzás, azaz az ékszorzás jelét sem tesszük ki, de itt ezt így kell érteni:

.

Fontos látnunk, hogy nem egy végtelen felösszegzéstől válnak ezek az átalakítások érvényessé, hanem magukban a differenciálkifejezésekben jutnak érvényre. Ezek integrálása csupán már csak egy utólagos és sablonos összegező művelet, mellyel az infinitezimálisan kicsiről véges, vagy akár végtelen nagy kiterjedésre jutunk. A -jel jelzi, hogy a által körülfogott -ról van szó az összefüggés másik oldalán. A rendezett szorzat szerinti szabályos átalakítás hozza ezt az értelmet.

azért nincsen, mert az alsóindexes -nek nincsen koordinátadifferenciál jelentése, tehát ezzel nem lehet sem távolságot, sem tartományt kijelölni. Hasonlóan a magasabb rendű (dimenziójú) tartományok esetén.

A kétdimenziós felületelem területe: . Az egykettedes szorzó a két összegezőindex miatt duplán előforduló tagok miatt van.

, (elhagyva a hagyományos szorzás jelölését:)

, (összegezőindex jelöléscseréket alkalmazva:)

felületterület2.

Jól látható, hogy merőleges esetben a második tag eltűnik, és a téglalap területe, ami skalár mennyiség. Ha a koordinátavonalak nem merőlegesek egymásra, akkor a második tag korrigálja az elsőt, és akkor így együtt adják az invariáns skalár felületterületet.

Nézzük a következőt: (Ami integrálva a Gauss-tétel.)

, mert olyan nincsen, hogy

Itt először azt kell tudni, hogy egy -nek megfelelő háromdimenziós hiperfelületelemet jelöl duális formában. (Részletek lentebb…) szükségképpen rendezett szorzatban áll -val így: . Ez azt jelenti, hogy csak az az összetevő marad meg -ból, amely -nek megfelelő, azaz irányú. Így a parciális deriválásból elég csak a divergenciához tartozó rész, tehát ott elég csak -t írni. Ezzel a kontrakciók átszerveződnek, és így -t már -ként kell szerepeltetni. Viszont ebben a felírásban a index összegező hatása miatt ugye . Ez négyszer több, mint amennyi ebből eredetileg volt, tehát osztanunk kell néggyel. A szokásos definíciószerű felírásban , ami a négyes hipertérelem, de vigyázat, mert a valódi térfogatot, azaz a térfogatterületet (mivel a területet nem a koordináták szerint értjük, hanem a sokaság elemei szerint, ezért ez invariáns skalár mennyiség) a kovariáns négyes térfogatelem adja, amihez ezt még -vel meg kell szorozni. A differenciálkifejezések átalakításában azonban a nem játszik szerepet. (Részletek lentebb…) -ban mind a négy tag ékszorzatos, azaz rendezett szorzat, de a tényezők páros számú felcserélgetésével, azaz permutálásával utóbb felírt alakjára juthatunk, tehát végül nem lép fel előjelváltozás, azaz mindent jól írtunk fel, és nem sértettük meg az iránytartást. Az előbbi levezetés így még kicsit homályosnak tűnhet, de nézzük részletteljesebben:

. Itt az utolsó két tényező ékszorzatban áll: .

. Ezt kifejezetten érdemes visszafelé is követni.

A -jel jelzi, hogy a által körülfogott -ról van szó az összefüggés másik oldalán. A rendezett szorzat szerinti szabályos átalakítás hozza ezt az értelmet. Valamint a végeredmény pozitív divergencia jellege összhangban kell legyen kifelé mutató irányultságával, így ez a kalkuláció mutatja, hogy -t milyen előjelet alkalmazva kell számítani -ből.

Felhasználtuk a teljesen antiszimmetrikus (pszeudo) egységtenzort, melynek a következő tulajdonságai vannak. Legyen definíció szerűen minden koordináta-rendszerben . A pszeudoeuklideszi metrika és a Galilei-féle koordináta-rendszer alapján . Ha például egy vagy három koordináta előjelét megváltoztatjuk, akkor a definíció rögzítése miatt , és görbevonalú koordináta-rendszerbe transzformáltja , nem váltanak előjelet, ezért ezek szigorú értelemben csak pszeudotenzorok. Alább | : : | determinánsképzést jelöl.

A együtthatók faktoriálisok, amik a permutációs lehetőségekből adódnak. Az utolsó előtti képletben az mennyiségből képzett determináns. Ez a képlet, a szorzó nélkül, könnyen láthatóan következik az előző képletből, ami viszont teljes antiszimmetriáját meggondolva könnyen felírható. Az utolsó képlet nyilvánvaló a tenzorok indexeinek lehúzási módjából. Ezt meggondolva a Galilei-féle koordináták esetén -re rögtön következik az előbb említett -es szorzó azzal együtt, hogy . Ezek után pedig az is következik az első összefüggést figyelembe véve, hogy egyenletben egy -t kell átvinni a baloldalra, hogy az utolsó egyenlet alakjára jussunk. Így tehát adódik, hogy:

, valamint .

Az négyestenzor komponenseinek invarianciája a négydimenziós Galilei-féle koordináta-rendszer elforgatásaival szemben annak az általános szabálynak a folyománya, mely szerint a teljesen antiszimmetrikus tenzor, ha rendje egyenlő azon tér dimenziójának számával, amelyben a tenzort definiáltuk, invariáns a szóban forgó térben felvett Galilei-féle koordináta-rendszer elforgatásaival szemben. Ez nagyon hasznos tulajdonság, és mi éppen ezt használjuk ki. Sőt, ezt az általános szabályt nem zavarja, ha a Galilei-félétől eltérő tetszőleges koordináta-rendszerünk van. Ez jól kivehető a fenti egyenletekből. A differenciálkifejezések átalakítása csupán formai, és nincs kapcsolatban az alkalmazott koordináta-rendszer egyenes vagy görbe vonalúságával, valamint ezzel együtt a tér egyenes vagy görbült tulajdonságával sem, sőt, a hozzákapcsolt mennyiség vektor vagy tenzor jellegével sem. Teljes egészében csak a változásokon alapul. Ez nem is meglepő, hiszen a differenciál is tisztán csak ezt jelenti. A mennyiségek elemi differenciálformákkal alkotott kifejezése, azaz a differenciálforma, tetszés szerint integrálható. Az, hogy az integrálás konkrét eredménye értelmezhető-e vagy nem igazán, az más lapra tartozó kérdés. Mivel sem az integrálás összegezése, sem a differenciálkifejezések átalakítása nem törődik a mennyiségek skalár, vektor, tenzor jellegével, így vektor és tenzor esetén nincs garancia arra, hogy az eredmény kovariáns marad (vagy az ellenkező eset). Ez persze nem feltétlen jelent akadályt bizonyos megállapításokra, melyek akár igen jelentősek is lehetnek, mint pl. a gravitáció “energiájának” figyelembevételével a teljes rendszer energia- és impulzusmegmaradása (⇒ Az Einstein-egyenletek egy másik levezetése ). Elméleti megállapításokhoz számos esetben nincs szükség az integrál konkrét értékére, mert pl. egyéb vonatkozás alapján állítunk valamit.

Az eddigiekből nyilván érezhető, hogy az irányítottságok összehangoltsága miatt a háromdimenziós hiperfelületelemet a rendezett szorzat adja. Ez egy lokális koordinátarendszer alapján komponensekkel kifejezve:

. Valamint a kétdimenziós felületelem: .
És hasonlóan a négyes hipertérelem: .

A konvencionálisan, azaz szabadon választottan jobbsodrású irányítottság megsértése úgy kerülhető el az elemi differenciálformák átalakításánál, ha megfelelően és szabályszerűen használjuk hozzá az és tenzort, különben előjelet fogunk téveszteni. A differenciálformák átalakításakor az ékszorzatot, tehát az elemi differenciálok (koordinátadifferenciálok) rendezett szorzatát balról bővítjük, illetve bontjuk meg, és az indexeivel ezeket jobbra zártan szinkronizáljuk, a forgásinvariancia szerinti duálisaikat pedig balra zártan szinkronizáljuk.

Az elemi differenciálformáknak a forgatásinvarianciák alapján (oda-vissza) duális párját nyilvánvalóan az tenzorral határozzuk meg, és nem pedig -vel. Viszont az átalakításuknál a -k feleslegesek, hiszen kiejtik egymást, így azt egyszerűen az tenzorral végezzük.

duálisa , és a fentiek alapján: . . . . . . , . . . . . . valamint: . . . . . . .

duálisa , és a fentiek alapján: . . . . . . , . . . . . . valamint: . . . . . . .

duálisa , és a fentiek alapján: . . . . . . , . . . . . . valamint: . . . . . . .

Ezek a duálisok tulajdonképpen duális duálisok, mert az indexhelyzetük ellentétes. Fordított indexhelyzetekkel ezek a képletek nincsenek beiktatva, mert az alsóindexes mennyiségre ilyen duálisképzésnek nem lenne semmi haszna. A Landau II könyv ebben a tekintetben hibás. ❗ !! ❗ Ez kitűnik abból, hogy a 33. és 36. oldalai ellentmondóak a 302. oldallal és a 368. oldalon a 26. lábjegyzettel, valamint a (6,11) és (83,16) képletekből hiányzik egy negatív előjel. Ezt a duálisformát nem abban a speciális helyzetben kellett volna felépíteni, mikor , mert úgy az zavarodott keveredéshez vezet…

Az invariáns skalár négyes elemi térfogatterület (hipertérfogat-terület): .

Az invariáns skalár hármas elemi térfogatterület (hiperfelület-terület) nagyságú jobbsodrás szerinti vektor: .

Az invariáns skalár kettes elemi térfogatterület (felületterület) nagyságú jobbsodrás szerinti tenzor: .

Valamint ezek a területek invariáns skalár mennyiségként így adódnak:

Megszokott módon a következők igazak:

és viszonyát egy általánosabb módon is megkaphatjuk. Jelöljük a Galilei-féle koordinátákat vesszővel, és írjuk fel a görbevonalú koordináta-rendszerbe transzformálás képletét:

.

A teljesen antiszimmetrikus egységtenzor tulajdonságából rögtön látszik, hogy az érvényesülő indexértékek determinánsképzést adnak, mégpedig a transzformáció Jacobi-determinánsát. Néhány meggondolás ezzel kapcsolatban:
Mivel ugye teljes antiszimmetria esetén a tenzor komponensei csak azonos értékűek lehetnek az előjelüktől eltekintve (abszolút érték), ezért csupán egy szám. Egy koordináta-rendszerben ez nyilván nem válthat előjelet a koordináták monoton változása miatt. Ha előjelet váltana egy új koordináta-rendszerre való áttéréskor, akkor az azt jelentené, hogy az új koordináta-rendszerünk az előzővel ellentétes irányítottságú, amit éppen egy szabályszerű konvencióval és definíciójával el szeretnénk kerülni. Így tehát értéke pozitív kell legyen.

Az inverz metrikus tenzor transzformációja: .

Ebben a mennyiségek indexkontrakciója megfelel a determinánsok szorzásszabályához, miszerint .

Vegyük a két oldal determinánsát: . Következik, hogy: .

Végezetül nézzük a következő differenciálátalakítást:

Legyen tetszőleges antiszimmetrikus tenzor, pontosabban tenzormező. (Az alábbi kifejezések értelmezhetősége természetesen megkövetel néhány természetes tulajdonságot, mint például a folytonosság, korlátosság, differenciálhatóság.)

. Itt az utolsó előtti két tényező ékszorzatban áll: .

.

Mivel antiszimmetrikus, ezért -nak is csak az antiszimmetrikus része járul hozzá az eredményhez. Az utolsó két tag összegezőindex jelöléscserével egybeírható:

, mert olyan nincsen, hogy

A -jel jelzi, hogy a által körülfogott -ről van szó az összefüggés másik oldalán. A rendezett szorzat szerinti szabályos átalakítás hozza ezt az értelmet. Valamint a végeredmény pozitív divergencia jellege összhangban kell legyen kifelé mutató irányultságával, így ez a kalkuláció mutatja, hogy -t milyen előjelet alkalmazva kell számítani -ből.