Az Einstein-egyenletek egy másik levezetése

A gravitáció jelenségének elméleti leírásához az alapvető megmaradási tételeket fogjuk csupán felhasználni. Ezek a négyesimpulzus megmaradása, amely magában foglalja az energiamegmaradást és az impulzusmegmaradást, valamint ezekhez még hozzájön az impulzusmomentum megmaradása is. Ezek a sík (az egyszerűség kedvéért például Galilei-féle koordinátákban felvett) téridő homogén és izotróp jellegéből következnek. Ezeket alapvetőségi axiomatikus kiindulásnak vesszük. A gravitáció leírásához azonban sérteni kell minden egyes pontban a téridő sík jellegét, azaz általában sehol sem egyenes a téridő, hanem görbült. Ez hoz némi nehézséget magával, de az erős alapvetőség és annak lokalitása miatt (azaz, hogy bármely téridőpontban annak infinitezimálisan kicsi környezetét tekintve az egyenes (pl. Galilei-féle koordinátákban felvett) téridő csupán végtelen kis mértékben tér csak el bármilyen görbültségtől) ezek a fő-fő megmaradások továbbra is használható kiindulást nyújtanak az einsteini gravitációs elmélet felállítására. Mégpedig úgy, hogy ezen fő-fő mennyiségekbe a gravitáció, pontosabban a változó metrika általi hozzájárulásokat is beleértjük, és most így megmaradóak, folytonosak. Az úgymond végtelen hatótávolság miatt alkalmazható a potenciálelv. Kellő körültekintés mellett ezt követve állítjuk majd fel az Einstein-egyenleteket. Aztán, hogy utána esetleg veszünk egy mozgásegyenleteket változatlanul hagyó kozmológiai tagot a már felállított Einstein-egyenletekbe, vagy nem, meg hogy a szükséges peremfeltételek és a magasabb strukturáltság miként töri és osztja meg a fő-fő mennyiségeket, az már egy következő kérdés, és az eddigiek szempontjából csupán mellékes vagy ráépülő dolog.

A rövid körvonalazás után nézzük akkor most részletesen a levezetés vagy (ahogy tetszik) felállítás menetét.

Négydimenziós pszeudo Riemann-féle térben dolgozva induljunk ki abból, hogy egy másodrendű szimmetrikus energiasűrűség jellegű, de nem kovariáns, azaz nem szabályos tenzor mennyiség alkalmas az előbb említett axiómaként előírt megmaradási törvények felállításához. (Az energia-tömeg ekvivalencia követeli meg a szimmetrikusságot, és az impulzusmomentum megmaradása csak esetleg ezután említhető ebben a tekintetben.) Természetesen cél, hogy ez a mennyiség a gravitációt is leírja, valamint hogy ne sértsük meg a hatás terjedésének felső sebességkorlátjára vonatkozó szintén axiómakén előírt törvényt. Ez utóbbi egyrészt az alkalmazott pszeudo jellegű téridő miatt is érvényesül, de az energia-impulzus vektor és tenzor mennyiségformája szigorúan ennek megfelelő kell legyen. Továbbá az energia alatt az összes szóba jöhető energiafélét kell érteni, tehát ilyen értelemben teljes energiáról van szó, amit entalpiának is nevezhetünk, de most inkább maradok a szokásos energia szónál.

A megmaradást egyszerűen a kontinuitási egyenlettel állítjuk fel. Ez szavakkal: “divergenciáját” tekintsük nullának. (Valójában ez túl szigorú, és az anyag folytonosságának ellentmondó kikötés, de anyagi állapotegyenlete(ke)t nem tudunk figyelembe venni, mert az az anyag mélyebb tulajdonságaiból ered, és ezért nem geometrizálható.) Ez nem kovariáns divergencia, amit egyébként sem tudnánk felírni, hiszen nem kovariáns mennyiség. A tisztán parciális deriválttal képzett “divergencia” az alkalmazott koordináta-rendszeren keresztül a sokaság metrikájában rejtőző forrásokat is jelzi, amiket a kovariáns deriválással képzett kovariáns divergencia kiiktat. A kontinuitási egyenlettel teljes forrásmentességet követelünk, vagyis megtiltunk minden semmiből keletkezést, és semmibe való eltűnést, azaz szigorúan csak áramlást engedünk meg. Sőt, túl szigorúak vagyunk, mert a nulla értékkel kizárólag inkoherens monoton áramlást engedünk meg, így még a világvonalak találkozása is meg van tiltva. Ez persze egyáltalán nem korrekt, összeegyeztethetetlen a valósággal és a folytonos anyagszerkezettel. ⇒ * (Valójában a világvonalak szétválhatnak, egyesülhetnek, de kezdetük és végük csak szingularitásokban lehet, mint pl. ősrobbanás, végső összeroskadás, eseményhorizont (ami csak matematikai szingularitás), feketelyukbeli szingularitás. Azonban mélyebb meggondolásokból belátható, hogy egyszerű elveink alól félig-meddig kicsúszó helyzet van, ami energiajellegűnek felfogható változással, keletkezéssel, kiválásával kapcsolatos (és ezek lehetséges ellenkezői). Ha megváltozik pl. a vákuumállapot (de ez már kvantumelmélet), vagy az univerzum állapota és dinamikája befolyásolva van kozmológiai paraméterrel (konstans vagy esetleg változó), metrikára vonatkozó előírásokkal, akkor már nehézkes lehet eldönteni, hogy mi számít energiának, és mi nem. Az ilyen mélyebb elgondolások is lényegében megmaradás elvűek. Az energia mennyiségét megformáló változó nem egyértelműen zárt, és így a megmaradási elvbe (amely a fizikában alkalmazott legkisebb hatás elve mögött van) mélyebb szintű (vagy magasabb, ahogy tetszik) mennyiségjellemzők, szerkezetet előíró dolgok is bekapcsolódnak. Itt, amennyire lehet, kerülni próbáljuk az ilyen jellegű esetleg felmerülő bonyodalmakat, és ezek mellőzésével, illetve problémán kívül helyezésével próbáljuk végezni fejtegetéseinket.) * ⇒ A szigorúan csak áramlással terjedés alól nem lehetnek kivételek a potenciális formájú, jellegű energiák sem. A gravitáció leírásához, levezetéséhez is éppen ezt az irányelvet kell alkalmazni, ezért az utóbb felírt egyenlet, gyökere az elgondolásunknak, erre kell majd építenünk a továbbiakat, miután megvizsgáltuk az integrálhatósági körülményeket. Az elektrodinamika Lorentz-mértékben mindig felvehető vektorpotenciálja visszatükrözi ezt a világvonalszakadást kizáró csak áramlást megengedő dolgot. Sok tekintetben hasonlónak mondható az elektrodinamika elmélete a gravitáció elméletéhez. Mindkettőben a fő mennyiségek jellege egyezik: térpotenciálok, térerősségek, és a maganyag, valamint van sugárzás, azaz hullámkibocsájtás (elektromágneses hullám, gravitációs hullám). A vákuumon keresztüli távolhatás problémájának lekűzdésére ez ebben a két klasszikus esetben egy igen jól bevált fizikai koncepció (amit a matematika ragyogóan lehetővé is tesz, bár nem kis nehézségek árán), ugyanis ennek a két kölcsönhatásnak van egy nagyon lényeges és egyedi sajátossága; az, hogy a kölcsönhatás végtelen hatótávolságú, amit úgy kell érteni pontosabban, hogy a kölcsönhatás közvetülése átalakulásmentes, azaz bomlásmentes, leárnyékolhatatlan, vagyis csak a térbeli szétterjedés miatt csillapodik az ereje. A klasszikus jellegű térerősség ezáltal nyeri értelmét.

Az nullának vett “divergenciáját” négyestérintervallumra integrálva szintén nullát kapunk: .

Ha nem lettünk volna szigorúak, és nem vettük volna nullának ezt a “divergenciát”, akkor legfeljebb csak annyit engedhetnénk meg, hogy a világvonalak találkozhatnak, ezáltal az anyagrészek érintkezhetnek egymással, tehát a világvonalak egyesülhetnek és szétválhatnak. Ez lenne a természetes, de nyilván a gravitációelmélet ennek leírására nem alkalmas, tehát ezért muszáj ezt kiiktatnunk.

Értelemszerűen az egész világot egy teljesen zárt rendszernek kell tekintenünk, tehát a kiindulási megmaradási axiómák azt írják elő, hogy az egész univerzum négyesimpulzusa konstans legyen:

Itt azért el kell gondolkodnunk azon, hogy mégis hogyan képzeljük el a teljes világot. Mi van a hármastérbeli (hiperfelületi) távoli végtelenben, és hogy egyáltalán létezik-e ebben a végtelen távol, sőt még az is, hogy milyen a metrika a távoli végtelenben. Ezek kulcsfontosságú dolgok a továbblépés tekintetében.

Két eset lehetséges:

a.) Az egyik, hogy a térszerű hiperfelületi végtelen távolban már szinte csak az üresség van, azaz nincsen anyag, a négyestér metrikája jobb esetben görbületlen, így minden mennyiség ennek megfelelő értékhez tart, és megfelelő ütemben. Innen óriásként nézve a világ olyan, mintha csak egy infinitezimálisan kicsi, szinte pontszerű objektum lenne csupán a nagy semmiben. (Értelmetlen volna azt gondolni, hogy a végtelen távolban is minden olyan, mint itt, mert akkor végtelen lenne az anyag összes mennyisége, valamint ezzel együtt a távoli anyag idehatása is.)

b.) A másik pedig, hogy nem létezik a hiperfelületi végtelen távol, mert a világ globális szerkezete azzal nem egyeztethető össze. Tehát határtalan, de nem végtelen nagy. Ekkor a végtelen távol helyett valahogyan mindig körbeérünk. (Valódi határt értelmetlen feltételezni, mert egy valódi határ mögött mindig van valami, ha más nem is, akkor a végtelen üresség. Matematikai skálán viszont véges értéknél is el lehet képzelni egy “határt”, de ez csupán matematikai, és nem valódi, azaz csak kalkulációs jellegű.)

Azon is el kell gondolkodnunk, hogy ha a folytonos eloszlásúnak (feltételezetten) képzelt anyagból túl sok van túl kicsi helyen, akkor hogyan vannak a dolgok. Az a.) eset hasonló ehhez, azzal a különbséggel, hogy nem az anyag van túl kicsi helyen, hanem kifordítva mi szemléljük azt olyan nagyságokból, hogy szinte pontszerűnek tűnik végül. Érezhető (visszafelé), hogy ha a pontmechanikai világképből a folytonosan eloszló anyag világképébe akarunk átlépni, nem tudjuk elkerülni az ugrást. Ráadásul a folytonos eloszlás lehet csupán matematikailag (képzelt) képzett folytonos elosztottság, ami mögött a matematikai részletekben még mindig pontszerű az objektum. Ezt én nem valódi folytonosságnak, azaz álkontinuumnak nevezem. (Ennek a gondolatsornak a folytatása majd lentebb következik, mikor már többet látunk a kialakuló helyzetből.)

Ezek nagyon lényeges dolgok, és azt is látnunk kell, hogy nem tudjuk a két szemléletet (pontszerű és folytonos) elszakítani egymástól. Megfelelő alapelvek és ésszerű meggondolások mellett fizikai és matematikai spekulációkkal azonban olyan elméleti modell(eke)t tudunk alkotni, amely(ek)nek van teljesítő képessége a természet leírásában, de azért tisztában kell lennünk a csököttségeivel is.

Nézzük előbb az a.) esetet:

Integráljuk nullának vett “divergenciáját” akkora négyestértartományra, hogy az magába foglalja az teljes térszerű háromdimenziós teret, és alakítsuk át az integrált a négyestartományt körülfogó hiperfelületre vett integrállá.

.

Itt az utolsó tényezőt felbontjuk: . A rendezett szorzat (ékszorzat) jelét elhagyjuk, de értelemszerűen így értjük alább is.

.

A közrefogott tartományon minden világvonal keresztülhalad. Egy szép formájú esetben ez pl. úgy néz ki, hogy a négyestartomány körüli hiperfelületen a világvonalak “alul” belépnek, “felül” kilépnek, “oldalt” pedig körbe a végtelenben a semmi. Vagyis hát nem egészen, mert a koordináta-rendszer és a tér metrikája az még ott is ott van. Ha az ott nem görbületlen, és nem Galilei-féléhez tart, akkor az járulékot jelent. Ez sem okoz nagy problémát, de első elgondolásban jobb, ha a könnyebben elképzelhető Galilei-féle minta esetet vesszük. Ekkor az összeg azért nulla, mert kétszer integráljuk ki a teljes térszerű háromdimenziós hiperfelületet. Egyszer “alul” a múlt felé mutató hiperfelületi normálissal, valamint egyszer “felül” a jövő felé mutató hiperfelületi normálissal, és ezek ellenkező előjellel kiejtik egymást (“oldalt” pedig az egész végig nulla): . Mivel a végtelenbe nyúló integrálásról van szó, ez nem minta esetben akár -t is adhat, de bármilyen esetben a nulla eredmény a nulla divergencia miatt matematikailag biztosítva van, ha nem hagyjuk ki a végtelenben lévő “oldalakat” sem.

Mivel a négyestartomány által tetszőlegesen választottuk ezeket a hiperfelületeket, (ha kell, az “oldalakkal” együtt) a felét tekintve csak látható, hogy időben korábban és később is mindig:

Ennek a konstansnak nem lényeges az értéke, akár végtelen is lehet, az a lényeg, hogy konstans, mert ez jelenti a megmaradást.

Mivel a gravitáció egy úgynevezett végtelen hatótávolságú kölcsönhatás (ahogy azt pontosabban fent magyaráztam), a továbblépést a térerősség(ek) és térpotenciál(ok) meghatározása, pontosabban logikus elgondolással való megalkotása jelenti.

Az elektrodinamikai négyes-áramsűrűség vektor a megmaradása, azaz nulla divergenciája miatt felírható másodrendű antiszimmetrikus tenzor divergenciájaként, ami viszont felírható vektor rotációjaként. Ez pusztán matematika. Az antiszimmetrikus tenzor a térerősségtenzor, ami a vektorpotenciál rotációja. Ezeket nem Galilei-féle koordinátázás esetén kovariánsan kell érteni. Az elektromágneses kölcsönhatás független a gravitációs kölcsönhatástól, ezért ez így van rendben. (Ez azt is jelenti, hogy görbült téridőben nem a négyes-áramsűrűség vektor a megmaradó mennyiség, hanem az ehhez tartozó vektorsűrűség, azaz annak -szerese.)

A gravítáció leírásánál azonban nem tudunk használni kovariáns deriválási formát, mert egyrészt nem kovariáns mennyiség, másrészt azzal (ahogy azt pontosabban fent magyaráztam) éppen kiiktatnánk a sokaság metrikájában rejtőző forrásokat, amik viszont számítanak. A gravitáló anyagot jelentő szimmetrikus (nem tenzor) mennyiség megmaradása, azaz nulla (nem kovariáns) divergenciája miatt felírható harmadrendű (nem tenzor) mennyiség (nem kovariáns) divergenciájaként, amely két indexében antiszimmetrikus:

, ahol , és ez felel meg a térerősségeknek.

Az elektrodinamika esetében egyszerűen egy rotációval meg tudtuk ragadni a négyes-áramsűrűség divergenciás felmenő ágán azt a mennyiséget (négyes vektorpotenciál), amely teljesen megadja azt. A gravitáció esetében egyel magasabb rendű mennyiségekkel dolgozunk, és itt van egy újabb tulajdonság; szimmetriája, amit is magában kell, hogy hordozzon. A metrikát egyedül a szimmetrikus metrikus tenzor határozza meg, és ezért végül ezzel kell felírnunk mindent. A gravitációs kölcsönhatást geometriai módon írjuk le, mert minden arra mutat, hogy ez gond nélkül megtehető így. Persze nyilván az anyagban jelenlevő belső állapotváltozások zavarják ennek tökéletességét, de ez természetes, hiszen az utóbbit nem lehet geometriával leírni, mert ahhoz külön állapotegyenletek szükségesek, melyek azonban csak elfedő jellegűek, hiszen az anyagnak nagyon sokféle, különleges és változatos tulajdonságai vannak. Az azokat leíró fizika egészen más formát követel (lásd kvantumelmélet), mely a változatosságnak megfelelően temérdek lehetőséget foglal magában.

Semmi jel nem mutat arra, hogy -nek a indexeiben szimmetrikusnak kellene lennie, vagy ami ugyanez, hogy indexeiben antiszimmetrikusnak, tehát általában nem azok. A (nem kovariáns) divergenciás felmenő ágon következő negyedrendű mennyiségforma kifejezetten alkalmasnak kínálkozik a másodrendű inverz metrikus tenzorral való egyszerű, és az eddigieknek megfelelő előállításra. Negyedrendű mennyiséget ad egyszerűen két (inverz) metrikus tenzor szorzata. Kettő ilyen különbsége megfelelő indexelések esetén már az eddigieknek megfelelő szimmetriatulajdonságokat tartalmazza: . A metrikát meghatározó metrikus tenzor (és ekkor ugye alapvetően a nem inverz metrikus tenzorra kell gondolni) egészéből adódik még egy egykomponensű mennyiség is, a determináns, mely abszolút értékének valamilyen hatványát még szorzófaktorként figyelembe kell vennünk, különben nem lennénk egészen általánosak. Továbbá mivel (általában) az energiát a geometriai paraméterekétől eltérő más egységekben mérjük, (nem feltétlen, de) szükséges lehet egy mértékegység-illesztő konstans szorzó is. Így a következő kifejezésre jutottunk:

, ahol a térpotenciálok.

A hatványkitevő értékének meghatározásához alakítsuk tovább az integrált:

,

,

.

Az hipersíkon egyik indexe 4, a másik pedig így csak az 1, 2, 3 értékeket veheti fel, ezért azt -val jelölve, a másikat pedig elhagyva (a csillagot is elhagyva) a felületelem közönséges háromdimenziós komponenseire jutunk:

.

Ahhoz, hogy vektor legyen, vagyis kovariáns mennyiség, azaz független a koordinátázástól, az itegráljel alatt mellett tenzorsűrűségnek kell állnia, azaz egy tenzor -vel szorzott kifejezésének. Vagy másként mondva az invariáns felületterület nagyságának megfelelő nagyságú merőleges felületelem (a duális felületelem), nem pedig . (Ugyanez érvényes hiperfelület esetén -re is.) Amennyiben az egész Univerzumra számítjuk a négyesimpulzust, az integrálnak mindent magába kell foglalnia, azaz a határa egészen a végtelenig ki van tolódva. A végtelenben a parciális deriválás alól már kihozható kell legyen, valamint a megmaradt parciális deriválásnak ott már tenzor jellegű mennyiséget kell adnia. Ezek alapján a hatványkitevőnek 1/2-nek kell lennie. Lentebb végül majd látni fogjuk, hogy a hatványkitevő 1 értéke esetén kapunk olyan végső egyenletformát, amelynek tagjai két geometriailag jól értelmezhető mennyiséggé, a kontrahált görbületi tenzorrá, és az invariáns skalár görbület metrikus tenzorral való szorzatává állnak össze: . Ez azonban csak egy lehetséges konvenció. Haladjunk tovább tehát úgy, hogy a kifejezésben nem , vagy ennek 2-nél magasabb egész kitevőjű hatványa szerepel, hanem , vagyis a kitevő 1. Ekkor viszont csak akkor tudjuk fenntartani az egyenlőségjelet, ha baloldalra mellé veszünk egy szorzót, ami szükségképpen konstans kell legyen a hármasteret körülzáró végtelenbeni felületen, különben nem tudja kompenzálni az ezen felület menti deriválás alatt lévő determináns hatványkitevő 1/2-ről 1-re emelését. (Ez pl. polárkoordinátákkal nem teljesíthető, tehát az egyáltalán nem lesz megfelelő ebből a szempontból. Sem pedig hengerkoordinátákkal. Egyedül a Descartes-féle koordinátázás jöhet szóba.) Így tehát a következő alakkal megyünk tovább:

,

.

Amennyiben nem az egész Univerzumra, hanem csak egy tartományra számítjuk ki a négyesimpulzust, akkor a vonatkoztató névindex elhagyandó. Kérdés, hogy kell-e ebben az esetben a szorzó. Amennyiben a szóban forgó tartomány gravitáló anyagtartalma elhanyagolható az összeshez képest, akkor nem kell, ugyanis a kívül eső nagymértékben fölényes mennyiségű többi anyag határozza meg a benti anyag számára az ekkor lokális háttérmetrikát, amire ez mondhatni ráül. Ilyenkor az érvényesülő koordinátázási szabadság nem engedi felmerülni a szorzót, rejtve azt 1-re állítja. Amennyiben fordított a helyzet, tehát a szóban forgó tartományon belül van a nagymértékben fölényes gravitáló anyagmennyiség, akkor ez határozza meg az aszimptotikája alapján a végtelenbeni háttérmetrikát, tehát kell a szorzó. A két helyzet közötti köztes eset éppúgy nincs, mint ahogyan pl. olyan szám sem, amely még nem végtelen nagy, de a nagy többség feletti.

.

A gravitáció esetében ez a kifejezés analóg az eletrodinamikai négyes-áramsűrűsg vektort a vektropotenciálból megadó négyes-Laplace-os kifejezéssel.

Mivel egyrészt és főként az -ben lévő szabályos tenzor, azaz az energiaimpulzus-tenzor kifejezését szeretnénk megtudni, hogy miként állítható elő a téridő, vagyis a sokaság metrikáját leíró mennyiségekből, azaz a metrikus tenzor (pontosabban az azzal egyenértékű inverz metrikus tenzor) deriváltjaiból, szükséges, hogy a determináns eltűnjön, mert az nem kovariáns mennyiség. Ez azt követeli, hogy -ben szorzóként szerepeljen . Így a következő alaknak kell érvényesnek lennie rá:

, ahol a szabályos energiaimpulzus-tenzor, és pedig a többi tagot jelöli, melyek másik koordinátázásra való áttéréskor nem viselkednek szabályos tenzorkén. Ez utóbbit nevezzük a gravitációs tér energiaimpulzus-pszeudotenzorának. indexekben mindegyik szimmetrikus. -t áthozva a jobboldalra, és elvégezve a belső deriválást:

.

Válasszunk az adott pontban olyan koordinátázást, hogy a metrikus tenzor első deriváltjai tűnjenek el. Ezt mindig meg tudjuk tenni, és ekkor bevihető deriválás alá, így a következőt kapjuk:

.

A második tagban , és így kiküszöbölődik, ahogy azt szeretnénk. (A Gamma jelölés előtti kettes szorzó a hatványkitevővel egyezik, de most a érték szerint megyünk tovább.)

Az utóbbi összefüggés abból adódik, hogy a determináns minden eleme függvénye a koordinátáknak, így közvetett deriválással írható:

. Amiből pedig: .

Felhasználtuk, hogy , amit megszorozva -val: , és .

a metrikus tenzor aldetermináns mátrixa. Az indexeknek ez a jelölésformája nem összegezést jelent, hanem csak azt fejezi ki, hogy ez kívülről felsőindexes mennyiség.

Beírva a Christoffel-féle szimbólumot a második tagba:

.

Végezzük el a deriválásokat a választott koordinátázásban, tehát a metrikus tenzor első deriváltjai eltűnnek, így végül elhagyunk minden olyan tagokat, amelyben az szorzótényezőként szerepel. Mivel a metrikus tenzor kovariáns deriváltja nulla, így az első tagban az első deriváltjait fel tudjuk írni a kovariáns deriválás formulájával. Jobboldalon a következő tagok adódnak:

A két ( ) tag kiejti egymást összegezőindex jelöléscsere után.
Hajtsunk végre az első [ ] tagban összegezőindex jelöléscserét, valamint az alsó [ ] tagban összegezőindex jelöléscserét, és a következőt kapjuk a három [ ] tagból:

.

Az első < > tagban az összegezőindexeket jelöljük sorra -el, valamint a legalsó < > tagban hajtsunk végre összegezőindex jelöléscserét, és a következőt kapjuk a három < > tagból:

.

Hogy a maradék két { } tagot is ilyen utóbbi alakra hozzuk, most egy kicsit visszafelé dolgozunk velük, és visszavisszük az szerinti deriválás alá a kihozott -et és -et. Az első { } tagban az összegezőindex jelöléscsere után hajtsunk végre összegezőindex jelöléscserét is, és a két { } tagból a következőt kapjuk:

.

A felhúzott indexű Christoffel-féle szimbólumok kontrakciót rejtenek magukban. Jelöljük azt is, és végezzünk átalakítást rajtuk:

,

.

Azt használtuk ki, hogy ha a zárójelben lévő első tagot negatív előjellel vesszük, akkor egyből láthatóan más indexjelölésekkel, és egy negatív előjellel kapjuk meg a Christoffel-féle szimbólumokat. Ezt a változtatást hozza helyre az utolsó tag mindkét sorban.

Ezeket visszaírva látható, hogy az alábbi két tag kiesik (az elsőrendű deriváltakat tartalmazó tagok pedig nullák a választott koordináta-rendszer miatt):

.

összegezőindexek jelöléscseréje után visszatérve a Christoffel-féle szimbólumok rendes jelölésére, és elvégezve a deriválást a nem nulla tagok:

.

Így végül arra jutottunk, hogy az adott pontban speciálisan választott koordináta-rendszer esetén:

.

Általános esetben a metrikus tenzor első deriváltjait szorzóként tartalmazó tagok is megjelennek. Az és kontrahált görbületi tenzor alakja ismert. Ha kiszámoljuk az említett első deriváltakat tartalmazó tagokat, akkor közöttük megtalálható az idáig kiszámolt második deriváltakat kiegészítő néhány tag, és ezek együtt éppen a kontrahált görbületi tenzorral felírt alábbi egyszerű alakot adják a szabályos energiaimpulzus-tenzorra:

. Ahol megszokottan a .

Valamint alsóindexekkel: .

Ha fentebb hatványkitevőjét nem 1-nek választjuk, akkor a nagyzárójelben két nem tanzor jellegű mennyiség különbségeként adódik a tenzor jellegű végeredmény. Felmerül a kérdés, hogy vajon a variációs hatáselvben hol követjük el az ennek megfelelő konvenciót? A válasz nagyon egyszerű; amikor az invariáns skalár görbületet választjuk kiindulásnak. Nem csak ez az egyetlen skalár alkotható meg a metrikus tenzor deriváltjaival.

csak olyan tagokból áll, amelyek a metrikus tenzor első deriváltjait szorzóként tartalmazzák (és legfeljebb is csak az első deriváltjait tartalmazzák). A tér adott pontjában tehát pl. Galilei-féle koordináta-rendszert választva eltűnik, és ezzel lokálisan “kikapcsoljuk” a gravitációt.

A b.) esetben, mikor nemlétezik a térszerű hármastérbeli (hiperfelületi) végtelen, mert az önmagába görbül (pozitív görbület), akkor nem jutunk el a végtelenig, hanem valamekkora véges tartománnyal (a fentebbi értelemben “alul-felül” külön-külön) körbeérünk. Ekkor ezek a hiperfelületek külön is zártak. A négyestartomány tetszőlegessége miatt, ahogy fentebb is, nézzük csak az egyik hiperfelületet. Ezen bármelyik tartományra vett integrált, csak úgy mint fentebb, Gauss tételével át tudjuk alakítani a tartományt körülhatároló kétdimenziós zárt felületre vett integrállá. Viszont ebben a b.) esetben nincs nyílt külső rész, hanem a tartomány határának mindkét fele belső rész. Egy kis tartományt nézve az azon belüli gravitáló anyagmennyiség elenyésző a kívüli összes többihez képest, így tehát ahogy az a.) esetben is, a kívül eső nagymértékben fölényes mennyiségű többi anyag határozza meg a benti anyag számára az ekkor lokális háttérmetrikát, amire ez mondhatni ráül. Ilyenkor az érvényesülő koordinátázási szabadság nem engedi felmerülni a szorzót, illetve rejtve azt 1-re állítja. Egyre nagyobb tartományt elgondolva összemérhetővé, majd közel egyformává válik a határolófelület két oldalán lévő tartomány, és szükségképpen a gravitáló anyagtartalmuk is. (Nyilván ezek nem lehetnek átlagban aszimmetrikus tartalmúak, mert akkor annak megfelelően geometriailag sem lehetnének közel egyformák.) Polár- vagy hengerkoordináták itt sem alkalmasak, csak Descartes-féle koordinátákban lehet a gravitációt is magában foglaló négyesimpulzust számítani. Azonban ilyen koordinátákkal egyszerre nem lehet lefedni az önmagába visszagörbülő teljes téridősokaságot, így problémás az ilyen teljes Univerzum négyesimpulzusának számítása…

A gravitáció jelenségének leírásában tulajdonképpen nincs nélkülözhetetlen szerepe a hármastérbeli végtelennek, legfeljebb a teljes elkülönítés esetén. A jelenség a megmaradáson alapszik (amennyiben nem vezetünk be kozmológiai konstans szorzófaktorral egy új tagot az egyenletbe).